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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 J`Kb7:t  
76dv}Y*=\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Pu?L2P :  
2{it \VCG*  
　　1、三角函数本质：  J#AJcv  
({[9 2=`+  
　　三角函数的本质来源于定义 Gkg|i\ni  
g,n8yS|jBF  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &y*XWfX  
HSN2GBJ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 DQ~-_\Hab  
_V!5 9`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： jwO9&WMZ  
[%L:(-UW  
　　推导： h[B?CkT]  
O xcT](G  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Ni)vLyn:'  
8o,|IL  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) CdhT ]  
r^IM#qcE1U  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) DPS?I6,  
7tS7<*#  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <@7(q$  
ekdWS^uV:Z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） =h0[mI  
hVT_@nui  
　　[1] bVO}[Q;XU  
h:s;n8,N  
　　两角和公式 fa[~3g*  
|} <KMF#^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cp=p  
3:w!|I  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  KM@q91A  
c[-0tFRD  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Dy$$4xEz  
1j'KZ,xU  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB b'.BYL #4  
#t9j5==V  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &$6yJ`\ {B  
b|SqUM  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >!xojd^]  
rZO"mM?~Pw  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  /? cK3p  
ydE{'-$D"0  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dq~!&.G5  
vZ*BSsJD  
倍角公式 fEYIwN2Z  
zu=hghee  
　　Sin2A=2SinA•CosA HC6-A  
u?OtBeA\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 YQjSv-  
FSJ*oGt  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .SBCBXlnm_  
 +v[Xt)  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） WDSW,b  
W(b>l]A\\  
三倍角公式 CCb#qhwA  
k3t+2y\  
　　 J&=7F5_"$  
Vnb5bUMIo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) VTfJ@!Vd[  
)uTOb*g  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) C&ve]T  
-Z|q!g@  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Sc(^#5}@  
<Du+,L #J?  
三倍角公式推导 f4%9X Y^(P  
g;r&] .<  
　　sin3a {SUiR#'kz  
Ch`yT6 G  
　　=sin(2a+a) ~M V =F  
T 'b[Kg{  
　　=sin2acosa+cos2asina 8|p8l  
LqZ8#ldwQ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina t U*E7r vg  
{'^"doG2  
　　=3sina-4sin³a  <d68D4  
T4o"3+%s  
　　cos3a gRfn}7 _  
D p%QJ lF  
　　=cos(2a+a) _>T5ZT0H  
iq#"S~}R  
　　=cos2acosa-sin2asina l1{XD ^  
K/koTvVqv  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa m#D J`1n  
pYQggn&b  
　　=4cos³a-3cosa LdBT: _dw  
X%v?$!3T  
　　sin3a=3sina-4sin³a _wb > N  
;LVvI029/  
　　=4sina(3/4-sin²a) ~7{hOmgu9S  
-Ot5LA  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Dx7T&gCA  
1P`\r@yN  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 2#p5 q5  
4}xQwW   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) E)@X"Ir  
:gh*i[qD0  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Xxny* H  
cD>?uRJ'X  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) OY6Mj (  
\@IQOZ[%\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa h  /`  
R )7{?D?G  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ^>_lnTQ9  
)],KEB4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Q@U&[R]f[W  
qN2 (]1V  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) "P.`E7`  
S$N \8LJQ1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ka >"2!=r  
n >s}'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Yot#'Yv7X  
Rcv?GBg.6  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) = r9FD O  
zOR{ D5})  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Jpl5j8%2p  
@#@+Bvl@  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 5GA6yeBW  
]Je=ZD-@l  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) FSh7:>|  
qu>B'N  
　　上述两式相比可得 j%zb6?^!  
W*wqjzY  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 79 'BB  
#b/ (G&w  
半角公式 ots]pqz~v  
v6?m3,wX=N  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); *]KwT6&  
TZ&,O:LR;  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. }n1.Ob(*  
2DV=_[;  
和差化积 tEj5Scm  
#V CNP{'i  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1tn Aq1  
8G}NXHC~1  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gF7,p&.`j*  
dLmV,% kM  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] w^^D9l  
i(<uF * x[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $OJG Xa  
Oq/@cbB  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1'@QhGD8  
lBZ?~k5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~k7 vy  
V&PV cZ*b  
积化和差 EU1p]$ 4m  
3%Idt  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] *'q!_  
n.q>Yi}  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <&pg8 wK  
ndK1S-  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] REImybDMp  
fsv>HPg0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] zXyv_vKt{U  
H|IW<nN,\  
诱导公式  <(ks*  
cP hbE lQ  
　　sin(-α) = -sinα IIS]gi  
`!fygO3  
　　cos(-α) = cosα >?.:d*R>  
pO{M "sV-  
　　sin(π/2-α) = cosα Wr) zEtXNh  
C7Kbv Gx  
　　cos(π/2-α) = sinα ua6Uu Rp$  
fY4!A$^  
　　sin(π/2+α) = cosα O($@'n5p  
5iBC70  
　　cos(π/2+α) = -sinα QJa^1(s`  
+CG$XDk  
　　sin(π-α) = sinα yWq_jD`  
^&wLe89O O  
　　cos(π-α) = -cosα U2,{z+  
_S0c54<@$  
　　sin(π+α) = -sinα L5zH^b ]  
UZ-8;f=  
　　cos(π+α) = -cosα aZ";(1w  
td{ O0hi  
　　tanA= sinA/cosA rV/KPZ;z  
blDvC!zP@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 1VT -mVLQ  
x2\z]C4  
　　tan（π/2－α）＝cotα XSH!A/74K  
: aj0l6y  
　　tan（π－α）＝－tanα tC hol  
CmDH/1  
　　tan（π＋α）＝tanα PJrHcGmj  
I-oplVp#A  
万能公式 Xoa(#<&k  
}<T;6N_8o  
　　 *Gp.FO^m  
cYf  p}J  
其它公式 7!F% _'*  
<SPMX)TlI8  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 i!^h&[j  
d.HZ73}5y  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 gBpKRJXQ  
HS.K65Yd  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 f^Ct]Au1B  
~2|$)_  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 y5}A{jF~a  
xHB>a/g  
　　对于任意非直角三角形,总有 G[#iSwp  
@3= 8NB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC o t4TldFw  
<DX\vH(  
　　证: \O<#Dt "  
M(Wz}iv  
　　A+B=π-C C$`$1Kv  
eqr46rqDn  
　　tan(A+B)=tan(π-C) G:xi45Wl  
L`?}2iEx  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) a( w}G6K  
*.Xz0J[.  
　　整理可得 |s[ShhHg  
IQ@"c9k?_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8 <tS  
9h::Vh/  
　　得证 yW6l'rtsW  
9-%~ycF  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 vdgo9!07  
O= )4.$}  
其他非重点三角函数 pR3RXw^'  
;VY< 6  
　　csc(a) = 1/sin(a) +x|14{g  
AzytkiTK  
　　sec(a) = 1/cos(a) `ebmYt"  
Q#7 aL;_  
　　 q!_*o3fN  
d`VQL@\%  
双曲函数 |VWi?|J}  
I Zhdkm  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 gZ |z^<M  
4QN=A<g7S  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  HqRa:P  
5iy])! U  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;Zje,Kxcg  
aPPAs1  
　　公式一： w1'N^  
q%^09 r9  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 4d-3:fS  
4*4|!h}Cr  
　　sin（2kπ＋α）= sinα *NFe:4d+8  
G4y%K  
　　cos（2kπ＋α）= cosα (=9bA=  
'D^4IfD`  
　　tan（kπ＋α）= tanα "y3.p`,+<  
uS(}+ _M  
　　cot（kπ＋α）= cotα G mk1-'  
%uT:JYJI  
　　公式二： K9JXpX{  
Yt6wt>7~5  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： qKqc$9QB'  
.TieRt|  
　　sin（π＋α）= -sinα 2qJvb@au2  
N(E1IBidA  
　　cos（π＋α）= -cosα )>=!).]X  
"v? ?Y @  
　　tan（π＋α）= tanα \'u=]ZTF  
 M2l*<W  
　　cot（π＋α）= cotα '8A9}S~.  
 ?69\X  
　　公式三： 70X!Hb:  
U=~QyZ&~  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： wiPn9#cU  
_#.\kPuvv  
　　sin（-α）= -sinα |?3zOTjE#  
,Vg^XlA  
　　cos（-α）= cosα r9 zwwHR  
rH!$o|~[C  
　　tan（-α）= -tanα -AhllSJ!  
>]$,~V*2&  
　　cot（-α）= -cotα khh~P=)  
 I4H@$h(  
　　公式四： tD0l"!O}  
S2s(V\6iI  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @T ELLu"  
X!gtJ`Kc  
　　sin（π-α）= sinα B>)[V  
Jx'D8V5,  
　　cos（π-α）= -cosα )w, 7Jz+ M  
pe(;zJrl0  
　　tan（π-α）= -tanα GY^zs2RF  
zF5T- &,  
　　cot（π-α）= -cotα v9sI/Z  
C{ ,B7"D  
　　公式五： R8UC]3  
$Dn=uhIh>  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： W~6}\PPdr  
(/& 6=oe  
　　sin（2π-α）= -sinα 9;i``'  
bCvCOM#~  
　　cos（2π-α）= cosα V\-lAKR)}  
~y?`< y[8  
　　tan（2π-α）= -tanα P |F`CjI  
~<M7?M 24  
　　cot（2π-α）= -cotα _&2"a!*  
ZtK[m1 Br  
　　公式六： 7wu<N)W|6  
[8"< huwZ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： .k;?fm(c  
7=<1'   
　　sin（π/2+α）= cosα "W$ez6 e  
oW0B tbHV  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5@z/&oW  
u8w$T%  
　　tan（π/2+α）= -cotα 9df*:eK^  
lmcc,F  
　　cot（π/2+α）= -tanα $GZnC,*#  
f&bQ;s9I4r  
　　sin（π/2-α）= cosα x X[Sxw  
m%Tbi4${  
　　cos（π/2-α）= sinα >fL8w5>(  
hmZ75Txg8  
　　tan（π/2-α）= cotα  xr~\  
Y:)H"GNu  
　　cot（π/2-α）= tanα OUR Omt  
8,6?&U`8e  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0)na TO4=A  
Qd?0jnaIx  
　　cos（3π/2+α）= sinα YrS9Z dDJ  
e}DP5 j  
　　tan（3π/2+α）= -cotα h07*h)k-}W  
Q|}d!-  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Ph]c{e~iH  
d!jJKzYjj  
　　sin（3π/2-α）= -cosα )s]iL"'=  
!3Sg/JnD9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα YGF[rb"n?  
`Jo-UsDAa=  
　　tan（3π/2-α）= cotα 3TF&v7a_{  
+'tgp1~`  
　　cot（3π/2-α）= tanα p.%|tFA  
SfUDL EZ  
　　(以上k∈Z) >(R2/U:9lE  
M`.Ch-@C  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ji.>nr3^x  
*?4Nwvy9l  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = X Fj\bz  
m6<v>.V  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } X:A cND  
P*W#}':lb  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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