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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 9b{k-N4[  
WpIa VC|6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 54c@ ex!R  
!u#_d/  
　　1、三角函数本质： .E-de{}  
d[,XEY =%  
　　三角函数的本质来源于定义 ak  
C]9?COO  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 [ 9Kwlv$~  
{`<DNE  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ,.|BPY%  
?*Y<"4781R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： sQn%3wI?/  
hV<{vs%  
　　推导： 644mDY]}  
K#+msG]UF  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 *(]Q%-U?  
&BBmOh'  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) uem.?{:Y  
A_ 8 s)Cv  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /ySk`N z`  
\v@Eax8-a  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 nd-zr  
-k;<,3-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） :u#fDDG)  
c"?m Q/Rb  
　　[1] PF<#\0.o  
!ipM*|hKj  
　　两角和公式 ^48I)<z'YL  
*sT,>o|onB  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sMXS(_  
M /Xc_lO  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  jP*KLD']*X  
Oj G(,,]M  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB =rb 7r:B  
K|ep<4a1c  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB M GGM i7 Y  
LvF5Z#QR  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) rSF:(;&A}  
V3uUcPct~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Xfs>p  
&$Im%Q S*  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +C}g90f`  
$)B{N+3*]b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~y5u1 O  
Ax[c3[xQoP  
倍角公式 z0G2 "&#  
`&_IWE  
　　Sin2A=2SinA•CosA  @]6<nv  
/Fth *qJQ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ( Zmhf  
nMk=jj<  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -D1P`R2  
^gF(O2( B  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） t\`.1\-]  
 R'e qb  
三倍角公式 8CA/Xm5 &  
L2EQec?9  
　　  YAwK%  
\5 +yyg&  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Gq~K2.F<  
i\[{M89`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uVR@q6l*  
jQ6f;<c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) y7FI(fo  
Z%LObb  
三倍角公式推导 #' lL`q  
VGn JL "5q  
　　sin3a ;G?"z+Nv  
z=YS c^2  
　　=sin(2a+a) _zXeWWk4`  
x 7_>E  
　　=sin2acosa+cos2asina gKMkO(@q\  
 ;2@yIH  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina \`+\QN w  
:rl'J  
　　=3sina-4sin³a $yIy?Yp  
nua9oM  
　　cos3a ?UlF|hwgV  
@5)!8'q'%  
　　=cos(2a+a) 9=Z%lV+6  
zF!c~"nz  
　　=cos2acosa-sin2asina *3A^ `EV  
-q#IKI=P  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa V|Wz/z|  
tb_\5}  
　　=4cos³a-3cosa O2N8k  
OiDB|]a4"  
　　sin3a=3sina-4sin³a -J*r*YP{yy  
ya_Ka>wJl  
　　=4sina(3/4-sin²a) rL*K?u#^R(  
=ua Yyvr  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] <fSTCHrr  
/?)@ #k?3n  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ri*|Dr"  
5 ec5w  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Jp!]kRp  
e+P*BGlU4g  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ./"wB]@[t  
t,b6V|  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) lH>NMMy  
uJt?V9R  
　　cos3a=4cos³a-3cosa .P`S'j  
fY?03t  
　　=4cosa(cos²a-3/4) jY4:ikRi  
NH&}']N  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3:XHG d=?  
F)MP?;9  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) w@VC4IKbf  
gf)^fk;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) &$Ki|C50  
?dOq9'0  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} /<gaF4]?#1  
.Y,:;B:  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) vV7JaB[  
+V4Gq~7Ub  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] HR#Ok;  
#t,xIM  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %f|"w@  
Z%e_RN^;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) d* "nz)n  
H v,.^C5  
　　上述两式相比可得 o!1Dcz'~  
+I/& y1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4AReTjmY8  
Y4hYA_[  
半角公式 h/ o{l'p4  
*wo 8-=  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 6RuBC `bu<  
N9JR U\1  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. p{j7 m+2  
ys$8Gx#  
和差化积 $ rT%:}  
43"H  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zTyL71?4  
oAxOjyyj  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 36vkN]T<V  
@"~<Sd3f  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] o,=h nnj  
X4(~W| Z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !IjEw8  
poh^ H  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U>- d!6[)  
~p+1l^]H  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) n+$M^~E  
:u*m-  
积化和差 -p-iIkmD  
0/29x =  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] _kkg_*.|MD  
;K0hUCl?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] [}pC-+;  
7;}7CxRp#G  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] v-*e|ucs>  
~w"LFS^  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] tG_IIsM&  
a;?K/=.7  
诱导公式 ^?@ =*}  
k)+s#[Eg  
　　sin(-α) = -sinα +)g:d-W  
n6rwuigaJo  
　　cos(-α) = cosα ^xNBm3~rF  
Le$vJ-F  
　　sin(π/2-α) = cosα T%!&G(9:5  
\7F2DA~\\X  
　　cos(π/2-α) = sinα KuemFb  
8S(qBrP  
　　sin(π/2+α) = cosα |9u(yUpMU  
ULU~@aJ )J  
　　cos(π/2+α) = -sinα Nr6rayO '#  
wIX 8g  
　　sin(π-α) = sinα 5K2+XpxV  
~AJ4_J`Q$  
　　cos(π-α) = -cosα xy]c_[78  
s EQlo5i  
　　sin(π+α) = -sinα D;UP+`Zv  
.9"U fA  
　　cos(π+α) = -cosα ^%~(I-Y L`  
#5*i-`:#  
　　tanA= sinA/cosA Ik4S c$  
 nE 1s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα o~R:Dx  
4(2gqC/`7'  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,7 ;6'G  
IO:."_ wu  
　　tan（π－α）＝－tanα ]D!{k,O  
hUB|F|  
　　tan（π＋α）＝tanα bI0B:tQF:  
Iz m/9}b  
万能公式 !ATWv sID  
xK^(OH  
　　 ' \}3.6*@  
jzjF[JI/  
其它公式 & ^'In|@a  
lPIUc  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ZSk$5`a  
{i,h|j mRg  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 mg ,kV[y  
Bg1NN, G?  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 w'Ls$=Z+  
K~De\V3[  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ih83jHq4  
P-h@ey&ry  
　　对于任意非直角三角形,总有 l+md\dG  
}6M-6]>U.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC lT`0) 6  
5S^Bc  
　　证: lvGO>jDM  
xK< S7  
　　A+B=π-C "%n M S0H  
4)MT` N5h  
　　tan(A+B)=tan(π-C) w<+$o*Pc,  
(Btt7nw  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) X{>%Yxq  
Z7g`KSI  
　　整理可得 xa&FsK-%  
6CZxAl!NEs  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC IV0S Yd B  
9F]EP.  
　　得证 /rrr.|[i  
Es)}7& y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 "|+{fO]  
R[OVZt  
其他非重点三角函数 99*Ad@wP  
,W<`d;bq  
　　csc(a) = 1/sin(a) B:g}dHj d  
&JIHa?o  
　　sec(a) = 1/cos(a) }<}0vfS  
y- LAmF*  
　　 DAtua~0X  
$|m{"eeHv  
双曲函数 KlT(<B+Y  
+N=Q7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 k%vs 9mk  
R_x F  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 J)1K[ i+ t  
o3/vIr  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) \TMZy[ir  
9i4gZ\Z  
　　公式一： 5\{z21M  
h-J4ZWOkG  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： tpS''/o  
|R ^wXPDm  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ;/H%A~  
gSX`" aoN  
　　cos（2kπ＋α）= cosα /|htq\g  
!Br.s0X  
　　tan（kπ＋α）= tanα (Ncln<_[f  
rmk CIz[  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^CoJF'  
M"P T$m T  
　　公式二： !U+, :JA<  
E]&k\CFZ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： WQ8[ 9yd  
a-cq(  
　　sin（π＋α）= -sinα 71Ow< CM-  
3uw($5'  
　　cos（π＋α）= -cosα 4vS=.Uj  
T.82=)iKO  
　　tan（π＋α）= tanα }: 6)1h  
2&S|fvy-+  
　　cot（π＋α）= cotα "%pfmA2e  
d%Q{yo7+  
　　公式三： :BaVY YE  
F%&XHB@P=h  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \&nCtM  
^:>~Nfv  
　　sin（-α）= -sinα _!o)Ny: {  
BR=M|S$[n  
　　cos（-α）= cosα *>;MSoMd  
F83?xj8x  
　　tan（-α）= -tanα t{V1e <a ;  
t$OT6_\_;  
　　cot（-α）= -cotα implDLZcBo  
@ |Nb  
　　公式四： sT1VK>JQ  
H };wuVN  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \)E5qH`6ik  
|g8o5qr  
　　sin（π-α）= sinα pe{VS`e0  
<T! n mP^  
　　cos（π-α）= -cosα  .d{[w>  
cG*@oPO%  
　　tan（π-α）= -tanα lEbO :[  
Z~(>Y^L;+7  
　　cot（π-α）= -cotα i+t,y`X ?  
-t|!<x V!  
　　公式五： .[{U'cTV  
w% 8Mkb5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A`76%$   
HwTpDDgC  
　　sin（2π-α）= -sinα ANq'&9JA  
62$Bo#]l  
　　cos（2π-α）= cosα GCB6JI2z  
_7(nG^;  
　　tan（2π-α）= -tanα yjE4$&  
8dUS)k>  
　　cot（2π-α）= -cotα G 4*N[N<X  
DeK*97G7 D  
　　公式六： ';"uKv55;k  
z)(lpdQ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： L=twl]@=  
a/']*2a  
　　sin（π/2+α）= cosα JPKiR3Bs  
. ~; 2%  
　　cos（π/2+α）= -sinα 0!<(PVysR  
({^V%  
　　tan（π/2+α）= -cotα )"Y @B 8  
=7<C#Xg'p  
　　cot（π/2+α）= -tanα mVsv!A^ x?  
]Q17""0.JM  
　　sin（π/2-α）= cosα ~$*ys%   
i/`R 4]  
　　cos（π/2-α）= sinα (;p_m7_N#  
tur?2_9D"  
　　tan（π/2-α）= cotα pp!"a5hVP  
ox;DN{:y  
　　cot（π/2-α）= tanα \ILe 6wP3  
s;_gtpJoW  
　　sin（3π/2+α）= -cosα $C9qK/0t  
Y IZBdk\  
　　cos（3π/2+α）= sinα k-e/0  
~%j6C\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα BB.+)jI  
d6b (>Hk  
　　cot（3π/2+α）= -tanα xU `{\s  
%Z'%xD`  
　　sin（3π/2-α）= -cosα kZC>eZ  
T~% ;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα d nwHZ<jy  
zt<PG  
　　tan（3π/2-α）= cotα 2Wypru )  
D~P0  =T  
　　cot（3π/2-α）= tanα #NNA b;mKH  
v:ex %t  
　　(以上k∈Z) G3U1g|":m.  
5oBG?=it  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d 9$|Ty*j  
r:tp}l>ww`  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = -@F~Z _  
E{x!=s~m*  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } DH \*LaR  
R6VuaT4$  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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