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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 OB xml <  
zRn?#xZ1.y  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S9 cG)s[p  
y6UlV .am  
　　1、三角函数本质： lu}~ 99r  
b%O_CAgD  
　　三角函数的本质来源于定义 U3bEZR!  
<3;   
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0bGC+#\/  
I"vY8 gC  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 K^a~K5F-t  
qD1+:N ;  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： R?3k1Pv  
Tut~w  
　　推导： /)0P|Z}  
Isq/rSI  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 8'Y;Zzt  
!MKop:  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 7C6 w ]d-1  
.<x!^#ksd  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) j5CLn  
v=)C\(]Yv  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0 J)>s l  
+ VtEx`j  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） mikBttmP  
d\SPIun!o  
　　[1] |0:6Avvg  
n9S3kx=  
　　两角和公式 |/L[(T0  
<-fwGb g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 0[{&mO>@]  
pnPU7//T  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Lq 8,=4W!#  
gL3yA  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB kOT7X} 0  
flfO _sD  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB gw.uB.a1nv  
&{: UI  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) F *vk_McwJ  
@01UfL}J+e  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6[]t:f{  
`x\&0OL  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5n\-*&G_0  
"A-JBsO^  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) hp soSa  
{AKoUur  
倍角公式 2=YXr}>  
0cl;".A7;<  
　　Sin2A=2SinA•CosA !mU DF  
jo%N[A&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HyfY [b  
*3n;`Z X  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >RWf M  
x( %k6"  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） B2S)R$  
q-k i _  
三倍角公式 KGHEnQf7  
zv>dbQ~~  
　　 mPb<|`rVEY  
jA4oO"';m  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]8_V<-H$C2  
b;?zPj  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K {,t4'  
'`I?ZE  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p?mqtU  
?yY[{yS3  
三倍角公式推导 Pi-7fP[  
x) DM0o  
　　sin3a xp2 42m5.  
gsvt&mZu"h  
　　=sin(2a+a) W+1Yv2in  
dOw;1)?.8  
　　=sin2acosa+cos2asina Avd@bCa  
 ]:KcR6  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina #Z x 9jP\  
I*emu ,   
　　=3sina-4sin³a nnw[  
bcF Iy?cI  
　　cos3a 5wo1%A?Z  
$2Evy=}  
　　=cos(2a+a) JU B {IY#  
)NDe@5f  
　　=cos2acosa-sin2asina tq^d)DV  
-=O`8v9jQ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa XL2#U-  
Ppx7iIZ$  
　　=4cos³a-3cosa xt}]Kh  
c-?d  
　　sin3a=3sina-4sin³a sd,_|dQb0  
sM;d94N\  
　　=4sina(3/4-sin²a) |TH_f!H  
8vy MJaL?j  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] S<FQ-ik  
N:dWfi8d=y  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) hNif t91f  
6*3}Nr&5T  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) UXiq+)=33  
l1Tw0T   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] tII"t%6  
/,QMxy4S`^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) `I9[\z7en  
@g4jn:{Bl  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ?$EBl^,7  
jHU)cT{X  
　　=4cosa(cos²a-3/4) / i~4!  
Y\z,#t5|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] o4 --(UN  
&G/ ,{G'p  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -^Zf6p6  
lp]Mk+*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) bG%xS-_BWf  
RF=ddj"0-  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,Jd(9Otm  
bgJ}7|t  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) S.KNJz  
a}7bNI$1t  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] a(g@"Ni.  
7N?7j+D(8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] fY:,K-Q4  
:L?^|'}n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) a;a@Um  
Vm4{`E N  
　　上述两式相比可得 &!qBQJ-[  
NU~2Gg1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) zS |,~  
>7@|c!OD_  
半角公式 N87L$ZpK  
gcd{9QQES  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); d Q3[2B  
 o[Qi?R  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 'Jtm1>  
P!t}i%?6  
和差化积 ~}R;tf  
^Z*d^  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %d9:Um%(6  
[E c +c  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] .S!<2,  
hfMxE~zQj  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fH9K~}q81  
Prpr -DPDT  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hCk5U&  
>8Zho!   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0=#z!GU  
f$ ;$zhu;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) FT/&L82xD{  
4^\@ C?  
积化和差 E>smy('u  
^fNOgQIpg  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ug1z p  
Wz3+3X   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] M )[\K~b0  
.=Aa_YnS  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6sXai  
>Q|<B3I  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] cGz/w]Z"sR  
PUD2VEI>=  
诱导公式 cf.Eb#x  
K6I{S LL  
　　sin(-α) = -sinα H^gs #:  
n8o\G*u  
　　cos(-α) = cosα Lg mAR}^-  
_lAH}ci=  
　　sin(π/2-α) = cosα Zi*%s>{6~Y  
G{9$O#)jZ  
　　cos(π/2-α) = sinα  }>8_+$;D  
2 yW^4A=N  
　　sin(π/2+α) = cosα 9 D JCG8r  
mcc@h  
　　cos(π/2+α) = -sinα 1b! 6!lnFr  
L/r3Il.1  
　　sin(π-α) = sinα n -*cJd L  
Kz%Gf}-P  
　　cos(π-α) = -cosα b#6n_15  
9;1c3z v  
　　sin(π+α) = -sinα to`]6}q  
w;Fo.Y  
　　cos(π+α) = -cosα .WfP][w  
e s(v  
　　tanA= sinA/cosA u0gPO bP  
,T9kl&S*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα x 90{9 w  
hs,n! j5r^  
　　tan（π/2－α）＝cotα !2{&EMG-  
ow`2;!cqw  
　　tan（π－α）＝－tanα # Cl]O=>  
K3G'q.Q  
　　tan（π＋α）＝tanα >4 x<  
2ac)':SE&  
万能公式 ^ *}X\S@-  
oYmA>-o  
　　 FZvSgCM=  
7vgv9|$  
其它公式 -{`5/bI  
, 2d;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 QI.ku 04  
/z_M@[~  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 lk&5*`Cwy  
" Vp)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 HPM &i<z3  
An7 84*;h  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 shhU`)O  
!o200@H  
　　对于任意非直角三角形,总有 } j?TnV  
Yj8z}JF  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t^kZ9{K]  
? kNF #=  
　　证: SKv>V2  
$A=h 5-  
　　A+B=π-C Zq]tSe*  
v$') 4  
　　tan(A+B)=tan(π-C) /Y *jVI@\{  
2 ?4p7m{v  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Sb?]VP i&  
z`;zxSY  
　　整理可得 9":MzH hS  
+ Rw{oQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >O$9+gYi  
ISO#YGL4  
　　得证 |?o3W*  
7'ps^& B  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 e5aF]5  
w5jcE({{-  
其他非重点三角函数 yKDfi'e  
u5vki}z$GO  
　　csc(a) = 1/sin(a) Ive lcL  
x(]B0.;  
　　sec(a) = 1/cos(a) | dm15KQ  
a98kaG=<  
　　 ob>w0  
E3"i/ n  
双曲函数 Oom":_.+#  
[_?s{\v  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 n S$"+P9$  
g<:hjRk  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^y=N)psxaO  
~r Wz5jK  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) t%l_}V  
g%n_ZB  
　　公式一： M%+pLTUl{  
+1pylumQ V  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 5j4! 9  
AY1(ww,#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα # +Q%`p$"  
3=J"eK  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Ec0u *eG  
;-G\F1 n  
　　tan（kπ＋α）= tanα hr ~)1?W  
ePxGfIeB  
　　cot（kπ＋α）= cotα D1qtdQ|nw  
ci1A0Ta!IJ  
　　公式二： %%8k 4Zr  
Zr),Vaa+  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： .d3C'8D*  
Z.yr(KK9  
　　sin（π＋α）= -sinα m*<E;M|'  
E\ /Pg\e  
　　cos（π＋α）= -cosα K62gV  
3;(`.qGwS4  
　　tan（π＋α）= tanα (i ShDGe0  
q(SO:X  
　　cot（π＋α）= cotα S#j$V  
o 1-fW/  
　　公式三： -Af0>nV5  
ZQ9/)s/d  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： mE5Z}  
2[Yv%{0  
　　sin（-α）= -sinα QR(^ZT6|  
WgAA\  
　　cos（-α）= cosα S 3JWkO  
,s<:;!1  
　　tan（-α）= -tanα #;} beYq  
W_Unn?J%  
　　cot（-α）= -cotα xO]?S[N  
V"nBed4  
　　公式四： $TvqrzO  
!zh"#hX  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： x%f+Q_M  
0Y:^'(*  
　　sin（π-α）= sinα hIp+FJzLL  
!aiLbZ  
　　cos（π-α）= -cosα  o6b;S6M  
".CO1dtac  
　　tan（π-α）= -tanα l"ye/&GlB  
qp}~SMlLu  
　　cot（π-α）= -cotα S#!e!w16*  
!H$..VAt7  
　　公式五： %)ZN ,8%  
zs5+]=MKb  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ~L~%d+y&  
^W8sq!jiG  
　　sin（2π-α）= -sinα ~R{vb9*#  
:0|c L-/^  
　　cos（2π-α）= cosα K<+\\w5f  
GO cA`  
　　tan（2π-α）= -tanα yf^UjWG  
s#jc^3(6"  
　　cot（2π-α）= -cotα l>k3?^@GE  
/.*B\,W   
　　公式六： GzPFXUd@+8  
M (s3f0?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： R&?>  
b]VD /[X  
　　sin（π/2+α）= cosα =yHnz 3  
iDU:{r^Xo  
　　cos（π/2+α）= -sinα 3??>xrWf8  
AN-2{(*e  
　　tan（π/2+α）= -cotα [* 1 /iv  
jN|4*3AL%r  
　　cot（π/2+α）= -tanα s~qoML  
{`uL J  
　　sin（π/2-α）= cosα %Bg  
2=6& rJ  
　　cos（π/2-α）= sinα %>8pl C{g  
)"9C|_?}  
　　tan（π/2-α）= cotα 'NR8#Ac=  
:UoNb^G<  
　　cot（π/2-α）= tanα ZHART*<  
])%N4bV  
　　sin（3π/2+α）= -cosα \D~r}J  
Hmq1L  
　　cos（3π/2+α）= sinα KTk2zUTg  
f5Su~"^.Qg  
　　tan（3π/2+α）= -cotα P9<;(+C w  
rf;cCMVa  
　　cot（3π/2+α）= -tanα w*OBvs5r\,  
O ]DPH{L  
　　sin（3π/2-α）= -cosα N0S6\0ts  
JFC+ `?=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα na+,gB#  
N R7 2>0T  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]i$ 9H uQ  
~XE91'O  
　　cot（3π/2-α）= tanα cAG*q^4?E  
D SUk X.  
　　(以上k∈Z) ZR nRx Ej  
etrZS?xF  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Ya niV  
~6j'(rzo  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = k6|uxv!  
1FlYv,K  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } N@NA[L\'  
@EB:]RL;  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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