日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Fww#KKZ/  
-?kw->ndL  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. j}}>/M{*U  
b)#`I./  
　　1、三角函数本质： +zW8D 5  
p@S%EUA  
　　三角函数的本质来源于定义 (#'Y ]5_B  
&V\Y.+o  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 538e k  
JW;2.BK  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $)]s.U(  
wBe v:^m$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Kr.Jm'M^  
W5EDW6T|3w  
　　推导： 3{v!gYb  
E'YB  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 or 6xV^  
=cv87C  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) oq+ WKX0  
B}nNdROXj  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) {Jws02=~  
dSMwRPfW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CX _R:-  
xHU V>  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）  o;1B#  
fQYwQ%  
　　[1] {6{49P5G  
gO(|9ePd7  
　　两角和公式 ?144xFy$  
P5Lqe  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >K5g !$4~  
zp8z*d .  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  G~z*v5d^  
/kX[L";,)  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB .0-D#)k  
N\c&|w  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB i`VpF&4  
(Syk|dS!e  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) s[8::Oz:IF  
^!bv"YC#  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3oz>$dP|  
%m<]qQ?6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?:\WMI-^  
B!myTx`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) +&c'`Lc<_  
z @0<GR  
倍角公式 TXWz\Edg  
YIN6rjBG=  
　　Sin2A=2SinA•CosA ^{&Dk SY  
wdiyR.Jpw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ?FoIA^  
HoVE {  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） k(_/q] 4  
75!"$PN  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 9z7?snL=$M  
vlZW//g  
三倍角公式 1;eLlr6  
w&vBNlC#  
　　 (q-+za WT  
Ow~tDR  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) w?Gec#_D  
bog5lF  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5+4 3w=  
9nm'xiiH"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) IC@H);g  
oap,rzBMl  
三倍角公式推导 uP%}Yaf  
Z/dly{j  
　　sin3a $osMQQMPT  
%Up9Wt]  
　　=sin(2a+a) \.scq3  
slhMJ4F~u  
　　=sin2acosa+cos2asina LTL(>>o3N  
OpaFvIB  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?xsVU%uI  
d{&G(  
　　=3sina-4sin³a @*b@/0b[(  
Qjb;L @#f  
　　cos3a Tr. d2T.  
E,8P:[l  
　　=cos(2a+a) %sljo%  
dx"lvo:  
　　=cos2acosa-sin2asina ":4sf$m  
B *D  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa >4 I>w  
GL*FoEYo(R  
　　=4cos³a-3cosa kfY S e  
TtV5A/$  
　　sin3a=3sina-4sin³a  };;E  
F| A9o{  
　　=4sina(3/4-sin²a) VGJD 0g#  
D /{cxjc  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ^qyLr{L  
6t;c:+eH  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Dg05+J{|  
UCj d|9Ki  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 6 DqWS%9  
VQ=.[xd}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] BQ0`k  
!g7z]x{6  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) e!%&SCgg3*  
1jpZ *T1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa J~ZHVwD  
7eP 8Kap  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }}n<l> p  
nm[(Nf,  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] RK p[B_F  
H THt&1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) sp&OgoYs6  
5x .A/(@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) %^@ p]P[Y  
9XB5vXP#W  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} &`] \-,0  
Vw%TYY`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H0\ez4)B-  
W/5of#Nq  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ow]0zKUC  
j -A)Im1  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 25dp3(Tbs  
mH aEaX!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]s:+nLG6>  
G oIZhjYYF  
　　上述两式相比可得 znlj32u  
0)/d}B0  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) L 9 .WIi*  
?&~.<-DZ  
半角公式 c2q6`\6  
Hg<4!t|Uk  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); mE08C )X  
|i6 {X+V  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. MP]X4N@  
9K3zk?  
和差化积 Y f ic^D  
:X MO@Ri  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A/^LT-t  
ZOw`o)  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] RR MF~:  
zI4-/1zfr  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] rTY` @  
s/O Z" h  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] YVTw-= I9  
> N _ 65a4  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) sV6fC78vI  
QgHh.&  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $A5 HsRZ  
E)&XxDwT  
积化和差 }vU2J@   
wX pI,f"C  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 0b4+x)  
JmYdj9=W  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Cn9Vp_2f-  
xBG@eF<3Gb  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] EDnuZBL  
]EQ0q`H{=/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] j No~6 s  
SQ![tRS<[  
诱导公式 ^.h}N}hg.]  
(F0m5+yi  
　　sin(-α) = -sinα A#NW  
*hOyss  
　　cos(-α) = cosα (-/rxR=  
2+H+J#RV`  
　　sin(π/2-α) = cosα nF//alh  
^b@|1}L  
　　cos(π/2-α) = sinα 83ck 4  
R:1OR0Q-  
　　sin(π/2+α) = cosα uX\sROj^  
H}nK;@w  
　　cos(π/2+α) = -sinα _ZB.  
:Z- e=7+hK  
　　sin(π-α) = sinα F@ (n0:\0  
*\i*-&9  
　　cos(π-α) = -cosα F ?#"R |  
7|D)oEDuy  
　　sin(π+α) = -sinα *q\%G#Ot  
/[e$#Sp  
　　cos(π+α) = -cosα 3#t">M  
O^%4F%B  
　　tanA= sinA/cosA 7= r:)'e  
9A >!UJ+  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα J?Id8HVm  
",s{)~D  
　　tan（π/2－α）＝cotα &61&qIk  
vTB+nJAf  
　　tan（π－α）＝－tanα *tJ$'Jt6  
,1jec$B7K  
　　tan（π＋α）＝tanα ^jsn 4.V  
i$gHv Gk  
万能公式 YF7Ef8QOQ  
P|nvc2  
　　 v\!~bE@P  
pG9"99M  
其它公式 4~jla??  
5 Sq}%7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^-->:|bf  
EZsfR7Btu  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 <@'d.}9g8  
WE]5uOr  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 9}0kUbNk^  
aUOdH1W9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 UaN@qXTM  
@hG@HO4  
　　对于任意非直角三角形,总有 %(:#NQ  
L_(~`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^oDUAT 5q  
w3'+nN%R6j  
　　证: 5#:lIa  
hshOO@o_Pt  
　　A+B=π-C p<?vb )H1}  
}8.lE(g/v  
　　tan(A+B)=tan(π-C) PjgbGau  
It ="@!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %@JbCxmo  
CL3L#=U  
　　整理可得 ?grl-fJ  
Q*xkkSs+m  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @@*AuSc  
nGDXi`  
　　得证 {H6nR'x>  
Pudh?o  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 I3=xzL  
!P|8B$(F  
其他非重点三角函数 c4t-LU"  
OLhnF\  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;Mfy :Y  
J]ku4WYpV  
　　sec(a) = 1/cos(a) {.\peXB  
m,lY" (:v  
　　 L`3DN&<`gz  
(=> iEU2?  
双曲函数 \Beg9<  
m(503hO  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 kdUH%NGzL  
aiU ;m.  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +_tUFK  
pbTMX  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ]%c}J!-v3p  
ba1UPNf  
　　公式一： Ys2c`bt@  
i9` -}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： =8D-OB9W*  
_ib4]  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Y>hf%<G  
QGOO=  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `DMK~gVYp  
Bm+KE6Ar  
　　tan（kπ＋α）= tanα @t`=6]k  
RJqRE^,kk  
　　cot（kπ＋α）= cotα VKo(9NB  
WmY|~ 31  
　　公式二： W,"TEx7eF  
J r_`hVY  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： l>cb?9 u  
|c{4?eHr  
　　sin（π＋α）= -sinα B?WKJI ^9A  
PEkJt ]k  
　　cos（π＋α）= -cosα `]N!uG  
\|]_ mk!q#  
　　tan（π＋α）= tanα :'^Y5K(o~  
%}HwR&rEL  
　　cot（π＋α）= cotα wn-2xH& z  
l3kk[oFD'  
　　公式三： nC=X#@(<K  
iqMh:LR9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： u'Z$v%:6,l  
" mG]:"  
　　sin（-α）= -sinα ]cm2s  
G, e0 B  
　　cos（-α）= cosα . &JpM  
r|*Do5hp  
　　tan（-α）= -tanα cKPw>Hg  
Tz`X5|  
　　cot（-α）= -cotα x mw:JkH  
A P+j)$T  
　　公式四： 0zyeMP-T  
_g S0gD4%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $N"t ?AW"  
.((<:0e  
　　sin（π-α）= sinα 'lJV7uF jm  
Y]1o "Ie  
　　cos（π-α）= -cosα x:Y#1\   
SE\ 8l;  
　　tan（π-α）= -tanα '{oY1?sj  
G s*N<]sX  
　　cot（π-α）= -cotα {$,{CA0<wn  
?xg"F5vg  
　　公式五： E#/:ioG  
Py N$b  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： lJ#i)w|t  
VJ3eVo{_j!  
　　sin（2π-α）= -sinα 2,{$gSNCT0  
v@cO!.\6<  
　　cos（2π-α）= cosα STo**]tX,  
mCBHYF,  
　　tan（2π-α）= -tanα zH6c))YQJ  
:(hgq  
　　cot（2π-α）= -cotα L Q +N~-  
0\Y UiV  
　　公式六： ,9 K<1A!}  
)tZEYKE  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ey6c|42$  
6"sHCu]J  
　　sin（π/2+α）= cosα o|wT00W3  
Y }|{9W [  
　　cos（π/2+α）= -sinα ? msxUf  
c=ueXF}P  
　　tan（π/2+α）= -cotα S#C| 7Ox  
> &.*  
　　cot（π/2+α）= -tanα f,?m68 /  
tqBNN%;zq  
　　sin（π/2-α）= cosα #n|z^-P  
kO*nfH5  
　　cos（π/2-α）= sinα jO79`c?yo  
LY5a z{lR  
　　tan（π/2-α）= cotα kmYn-[*Q!  
J|qE }fJm  
　　cot（π/2-α）= tanα  (J ?'  
jC_1A//  
　　sin（3π/2+α）= -cosα h) :{0J  
oP[L:I%+  
　　cos（3π/2+α）= sinα . %&&~  
i+(SDfQr  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^*'f ,3  
\ 0@Bp  
　　cot（3π/2+α）= -tanα r/-TCydJ  
G >i>SOj|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα |#k }M  
9Ig 'r  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 6-RFcjK  
Tc2O >)  
　　tan（3π/2-α）= cotα LHlq;&i  
c"m"*_(  
　　cot（3π/2-α）= tanα lJ&tg#&  
d o2LCu}  
　　(以上k∈Z) c&*S14{ LD  
=#i.7.!i  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 j|#QO?X(Z^  
/c*a> RW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #{y_|bh[  
f<MWr$4  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %LWk|B_|a  
P; (q4T  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16518) |  收藏